關(guān)于相依隨機(jī)變量加權(quán)和的極限性質(zhì).pdf

1、全文共分四章： 第一章 線性NQD隨機(jī)變量序列加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)定律 大數(shù)定律是研究隨機(jī)變量和的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一種工具，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)、金融學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)等學(xué)科的重要基礎(chǔ)。最初得到的大數(shù)定律均是關(guān)于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的，例如我們熟知的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律以及Marcinkiewicz強(qiáng)大數(shù)定律。隨著研究的深入，產(chǎn)生了相應(yīng)于獨(dú)立情形的相依隨機(jī)變量的概念，如PA,NA和NQD等等。而且關(guān)于這幾種相依隨機(jī)變量的大數(shù)定律和

2、極限理論已經(jīng)被深入地研究，相應(yīng)結(jié)果可參見蘇淳(1996)，D.A.Ioannides和G.G.Roussas(1999)，ZhangLiXin(2000)，楊善朝(2001)等等。 在對各種相依隨機(jī)變量的部分和進(jìn)行討論的同時，對加權(quán)和的大數(shù)定律的研究也在進(jìn)行。例如近來Bai和Cheng(2000)證明了有關(guān)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)定律，SooHakSung(2001)又對前者的結(jié)果進(jìn)行了推廣。從不同的文章中可以看出對

3、權(quán)的要求各不相同，我們要求的權(quán)是一組三角組列{an,i,1≤i≤n，n≥1}，滿足：Aα=limsupn→∞Aα,n＜∞,(0.1)其中Aαα,n=1/nnΣi=1|an,i|α(1＜α≤2),Aα,n=(1/nnΣi=1|an,i|α)1/α(1＜α≤2).下面的定理表明，由上述三角組列與線性NQD隨機(jī)變量序列構(gòu)成的加權(quán)和，在一定的指數(shù)矩條件下也滿足強(qiáng)大數(shù)定律： 定理0.1若{Xn，n≥1}是線性NQD序列，且滿足EXn=0和

4、(A)h＞0(γ＞0)，E[exp(h|Xn|γ)]＜∞.并讓{ani,1≤i≤n，n≥1}是滿足(0.1)的三角組列(1＜α≤2)那么(i)當(dāng)0＜γ≤1且bn=n1/α(logn)1/γ時，1/bnn∑i=1aniXi→0a.s.(ii)當(dāng)γ＞1且bn=n1/α(logn)1/γ+δ時，1/bnn∑i=1aniXi→0a.s.其中δ=1-1/γ-γ-1/1+αγ-α。 第二章 穩(wěn)定分布吸引場中ψ-混合隨機(jī)變量序列加權(quán)和的極限性

5、質(zhì) 在第一章中我們討論了線性NQD隨機(jī)變量序列的強(qiáng)大數(shù)定律，其中僅要求對每一個隨機(jī)變量有EXn=0，并沒有要求同分布；如果{Xn，n≥1}是同分布的，那么就有一個必要條件成立：E|exp(h|X1|γ)]＜∞，且EX1=0. 在本章中我們將討論另一種相依隨機(jī)變量序列——ψ-混合隨機(jī)變量序列加權(quán)和的極限性質(zhì)。對于ψ-混合隨機(jī)變量序列的有關(guān)性質(zhì)已有很多研究，它有相應(yīng)的0-1律和BorelCantelli引理成立。本章中要求隨

6、機(jī)變量序列是同分布的，并且分布函數(shù)是穩(wěn)定分布吸引場中的分布，即分布函數(shù)F具有如下的性質(zhì)F(-x)=C1(x)/xα,1-F(x)=C2(x)/xα,x＞0,(0.2)其中x＞0時G(x)≥0，limx→∞Ci(x)=Ci，i=1，2且C1+C2＞0.容易知道具有這樣性質(zhì)的分布數(shù)必定是屬于指數(shù)為α∈(0，2)的穩(wěn)定分布Gα的吸引場的，因?yàn)榇藭r可以找到一個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{Xn，n≥1}及常數(shù)An∈R，Bn＞0使得Sn-An/Bnd

7、→Gα,其中Sn=∑nk=1Xκ.很多作者已經(jīng)對穩(wěn)定分布吸引場進(jìn)行了研究，例如祁永平和成平(1996)，ChenPingyan(2001)，陳平炎和陳清平(2003)。在ChenPingyan(2001)中得到了具有穩(wěn)定分布的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的加權(quán)和的極限性質(zhì)，而且得出有關(guān)ψ-混合隨機(jī)變量序列的重對數(shù)律，而下面的定理指出ChenPingyan(2001)的結(jié)果對于穩(wěn)定分布吸引場中ψ-混合隨機(jī)變量序列的加權(quán)和同樣成立： 定理

8、0.2.1{Xn，n≥1}是同分布的ψ-混合序列，其共同分布F滿足(0.2).當(dāng)1＜α＜2時，設(shè)EX1=0.當(dāng)1≤α＜2時，另設(shè)混合系數(shù)滿足條件∑∞n=1ψ1/2(2n)＜∞.令h∈BV[0，1]并對某個x0∈(0，1]有h(x0)≠0，h在x0處連續(xù).若f＞0是非降函數(shù)，則以概率1，有l(wèi)imsupn→∞|∑nκ=1h(κ/n)Xκ|/(nf(n))1/α={0+∞()∫∞1dx/xf(x){＜+∞=+∞.定理0.2.2{Xn，n≥1}

9、是同分布的ψ-混合序列，其共同分布F滿足(0.2).令α∈(0，1)，h∈B[0，1]并對某個x0∈(0，1]有h(x0)≠0，h在x0處連續(xù).若f＞0是非降函數(shù)，則以概率1，有l(wèi)imsupn→∞|∑nκ=1h(κ/n)Xκ|/(nf(n))1/α={0+∞()∫∞1dx/xf(x){＜+∞=+∞. 第三章 不同穩(wěn)定分布吸引場中ψ-混合隨機(jī)變量序列加權(quán)和的極限性質(zhì) 在第二章中我們已經(jīng)得到了同一穩(wěn)定分布吸引場中ψ-混合隨機(jī)

10、變量序列加權(quán)和的極限性質(zhì)，在本章中我們將討論不同穩(wěn)定分布吸引場中ψ-混合隨機(jī)變量序列的加權(quán)和，而且得到了如下的結(jié)論： 定理0.3{Xn，n≥1}是ψ-混合序列，具有分布函數(shù)F1和F2均滿足(0.2)，即分別屬于指數(shù)為α1，α2的穩(wěn)定分布Gα1，Gα2的吸引場，其中0＜α1≤α2＜2.令τ1=[nα1/α2]，如果EXn存在，就令EXn=0。如果1≤α2＜2則另設(shè)混合系數(shù)滿足條件∑∞n=1ψ1/2(2n)＜∞.令h∈B[0，1]并

11、對某個x0∈(0，1]有h(x0)≠0，h在x0處連續(xù).若f＞0是非降函數(shù)，則以概率1，有l(wèi)imsupn→∞|∑nκ=1h(κ/n)Xκ|/(n)1/α2(f(n))1/α1={0+∞()∫∞1dx/xf(x){＜+∞=+∞. 第四章 破產(chǎn)概率的隨機(jī)分析 在這一章中總括的介紹了幾篇文章中有關(guān)破產(chǎn)概率的結(jié)果，并相應(yīng)的介紹了與破產(chǎn)概率相關(guān)的概念及性質(zhì).雖然破產(chǎn)概率的定義是不變的，但是在不同的模型下破產(chǎn)概率具有不同的具體表現(xiàn)形