截斷和隨機(jī)乘積的漸近正態(tài)性與NA序列的若干極限性質(zhì).pdf

1、全文共分三章： 第一章主要討論了有關(guān)截斷和Tn(a)的隨機(jī)乘積的漸近性質(zhì).我們知道，一列獨立同分布的正平方可積的隨機(jī)變量，它們的乘積具有漸近對數(shù)正態(tài)的性質(zhì)，這個事實由經(jīng)典的中心極限定理可以立即得到.目前，眾多學(xué)者主要研究部分和序列乘積的漸近對數(shù)正態(tài)性質(zhì).Arnold和Villasenor(1998)就Xn是均值為1的指數(shù)型隨機(jī)變量的特殊情況給予考慮，得到(n∏k=1Sk/k)1/√nd→e√2N，它的等價表示為∑nk=1logS

2、k-nlogn+n/√2nd→N.其中N是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量. Rempala和Wsolowski在2002年得到了下述結(jié)果： 定理A設(shè){Xn}是一列獨立同分布的正的平方可積的隨機(jī)變量，令μ=EX1＞0，變異系數(shù)γ=σ/μ，其中σ2=Var(X1)，記Sk=X1+…+Xk，k=1，2，…則當(dāng)n→∞時(∏nk=1Sk/n!μn)1/γ√nd→e√2N, 他們在2005年又得到了進(jìn)一步的結(jié)論：定理B設(shè){Xk,i}i=1

3、，…k；k=1,2…是獨立同分布正的平方可積的隨機(jī)變量的三角組列，具有階大于2的絕對矩.μ=EX11＞0，變異系數(shù)γ=σ/μ，其中σ2=Var(X1)，令Sk=Xk,1+…+Xk,k，k=1，2，…則當(dāng)n→∞時(nγ2/2∏nk=1Sk/n!μn)1/γ√lognd→eN. 在第一章當(dāng)中，主要是在隨機(jī)變量序列具有中尾分布的情況下，得到了截斷和Tn(a)的隨機(jī)乘積的漸近正態(tài)性質(zhì)：記Mn=max1＜k＜n{Xk}，Sn(a)=∑nj

4、=1XjI{Mn-a＜Xj≤Mn}，Tn(a)=Sn-Sn(a)，n=1，2，…，其中a為某一大于零的常數(shù). 定理1.1設(shè){Xn}是獨立同分布正的平方可積的隨機(jī)變量列，它們具有中尾分布.令μ=EX1＞0，變異系數(shù)γ=σ/μ，其中σ2=Var(X1)＞0，τn是整值隨機(jī)變量列，滿足τn/np→ξ，ξ是整值隨機(jī)變量.則當(dāng)n→∞有(∏τnk=1Tk/(a)/μk)1/γ√τnd→e√2N. 第二章主要討論了NA隨機(jī)變量序列的完

5、全收斂性.得到了：定理2.1設(shè){Xn，n≥1}是同分布NA序列，記Sn=∑ni=1Xi，則對任意的ε＞0∞∑n=2P(max1≤k≤n|Sn-Xk|≥nε)＜∞,的充分必要條件是EX1=0,EX21＜∞.而對于其子列的完全收斂性，我們得到了下述結(jié)果設(shè){nk，k≥1}是正整數(shù)列的嚴(yán)格遞增的子列，記ψ(x)=Card{k；nk≤x}，x＞0，ψ(0)=0.M(x)=∑[x]k=1nk，x＞0. 定理2.2設(shè){Xn，n≥1}是一列同分

6、布的NA序列，記Snk=∑nki=1Xi，則對任意的ε＞0∞∑k=1P(max1＜i≤nk|Si|≥nkε)＜∞等價于EM(ψ|X1|)＜∞. 在第三章當(dāng)中，主要討論了NA序列部分和乘積的漸近正態(tài)性，在得到主要結(jié)果之前，得到了本身也很重要的關(guān)于NA序列的兩個結(jié)論： 引理3.1設(shè){Xn}是平穩(wěn)的NA序列，且它們的二階矩存在，則有∑∞j=2|Cov(X1，Xj)|＜∞成立. 引理3.2令σ2n=E(1/γn∑k=1(

7、Sk/μk-1))2,則當(dāng)n→∞時σ2n/2n→σ20.在此基礎(chǔ)上，對于NA序列的部分和乘積，我們得到了： 定理3.1設(shè){Xn}是一列平穩(wěn)的NA序列，μ=EX1＞0，σ2=VarX1＜∞，變異系數(shù)記為γ=σ/μ，則有1/γ√2nσ0n∑k=1(Sk/μk-1)d→N,其中0＜σ02=1+2∞∑j=2Cov(X1-μ/σ,Xj-μ/σ).定理3.2設(shè){Xn}是一列平穩(wěn)的NA序列，μ=EX1＞0，σ2=VarX1＜∞，變異系數(shù)記為γ