預條件SOR型迭代法的收斂性.pdf

1、眾所周知，在科學技術(shù)的許多領(lǐng)域中，都會遇到微分方程初、邊值問題，然而只有十分簡單的很少一部分微分方程能夠求得其解析解.對于那些復雜的而又常見的微分方程，如橢圓型、拋物型微分方程，為了解決實際問題，我們就必須求出該方程的解或在某些點上的函數(shù)值，在此種情況下，我們常常會選取求解該微分方程的數(shù)值解.而在利用差分方法逼近橢圓型方程邊值問題來求其數(shù)值解時，最終歸結(jié)為求解大型稀疏線性代數(shù)方程組的問題.我們知道，線性代數(shù)方程組的解法有直接法和迭代法兩

2、種，而差分格式產(chǎn)生的大型線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣中非零元素占的比例小，分布很有規(guī)律性，迭代法程序?qū)崿F(xiàn)比較簡單，還能節(jié)省存儲空間，所以迭代法是解橢圓型差分方程極為重要的方法.由于是大型稀疏矩陣，所以在求解線性方程組時所選的迭代方法的收斂速度極其重要，只有收斂速度快的迭代方法才具有實際意義.而本文正是討論如何加速一種迭代方法的收斂性，具體來說就是在預條件子P=I+S的作用下，證明了兩種預條件SOR型迭代法比經(jīng)典SOR迭代方法收斂的速度要快.

3、
　　 2007年，王學忠等人在文獻[3]中研究了在一個一般形式的預條件子的作用下，所提出的兩種預條件SOR型迭代方法的收斂速度要比預條件Gauss-seidel型迭代方法、經(jīng)典SOR迭代方法的收斂速度快，并給出了相應的理論證明和數(shù)值試驗結(jié)果.而在本文中我們先指出了文獻[3]在證明所提出的預條件SOR型迭代方法的收斂性時，其理論推導中存在的一些問題，并舉出了一個數(shù)值反例，接著分析了所指問題出現(xiàn)的原因.然后我們改進了此預條件子，并

4、證明了在此預條件子的作用下文獻[3]的結(jié)論的正確性，接著在文章的核心部分一一第四部分中我們討論了改進后的迭代方法收斂的充分條件，即當線性方程組的系數(shù)矩陣為M-矩陣，H一矩陣，正定的Z-矩陣時兩種預條件SOR型迭代方法是收斂的，最后給出了在此預條件子的作用下兩種預條件SOR型迭代方法的收斂性比較定理.在文章的最后一部分中，我們用數(shù)值例子驗證了本文所得到的收斂結(jié)果.
　　 此文對于從事數(shù)值計算方面研究的學者或研究員來說具有一定的參考