25770.若干非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究

1、中圖分類號(hào)絲生￡：晝；UDc至Z立學(xué)校代碼!Q三蘭密級(jí)公玨博士學(xué)位論文若干非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究StudyonSomeIssuesofModelReductionforNonHnearPaltialDifferentialEquationDynamicalsystems作者姓名：學(xué)科專業(yè)：研究方向：學(xué)院(系、所)：指導(dǎo)教師：副指導(dǎo)教師：帥軍應(yīng)用數(shù)學(xué)系統(tǒng)建模與優(yōu)化數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院韓旭里教授論文答辯日期絲!絲￡至／答辯委員會(huì)主

2、席中南大學(xué)2014年5月若干非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究摘要：先進(jìn)的工業(yè)技術(shù)如半導(dǎo)體制造、納米技術(shù)、生物技術(shù)、材料工程和化學(xué)工程中系統(tǒng)描述的典型特征就是輸入、輸出甚至參數(shù)都是隨時(shí)間和空間位置的不同而變化，其時(shí)空耦合特性在數(shù)學(xué)上用非線性偏微分方程(PDEs)進(jìn)行描述。由于偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)空間變量的特征，導(dǎo)致對(duì)空間進(jìn)行離散，或者是基于傅里葉展開的思想進(jìn)行變量分離以后將產(chǎn)生無窮維的系統(tǒng)。但是由于實(shí)際應(yīng)用中有限的傳感器和執(zhí)行器個(gè)數(shù)，

3、一個(gè)合適的有限維數(shù)學(xué)模型是對(duì)上述過程進(jìn)行如系統(tǒng)分析，優(yōu)化和控制的必然要求。因此，非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的降維問題是一個(gè)廣泛且非常重要的問題。本文主要對(duì)非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的降維理論和方法進(jìn)行進(jìn)一步深入研究，主要基于時(shí)空分離的思想，探討在基于基函數(shù)展開結(jié)合權(quán)重殘差方法的基礎(chǔ)上如何構(gòu)建非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的維數(shù)更低的近似系統(tǒng)。本文的主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面：1)基于最優(yōu)化方法的自治偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)降維方法。受現(xiàn)有的如主元分析，平

4、衡截?cái)嗟瘸Ｎ⒎址匠套儞Q方法的思想啟發(fā)，提出基于時(shí)空分離和權(quán)重殘差方法獲得高階常微分方程系統(tǒng)，提出與變換矩陣相關(guān)的時(shí)間能量誤差函數(shù)，結(jié)合最優(yōu)化方法來獲得包含系統(tǒng)主要?jiǎng)討B(tài)的低維系統(tǒng)。將高階常微分方程組的動(dòng)態(tài)變量進(jìn)行線性變換，其中變換矩陣由優(yōu)化高維與新低維的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)能量誤差得到?；讷@得的線性變換矩陣，將高階常微分方程系統(tǒng)變換到低階的常微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，得到的低維系統(tǒng)代表了原高階系統(tǒng)的能量，較低的維數(shù)大大的簡化在非線性偏微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)應(yīng)用的

5、時(shí)控制器設(shè)計(jì)，具有比較大的工程價(jià)值。2)基于改進(jìn)誤差函數(shù)的非線性偏微分方程控制系統(tǒng)最優(yōu)化降維方法。主要研究基于改進(jìn)誤差函數(shù)的非線性偏微分方程控制系統(tǒng)最優(yōu)低維近似系統(tǒng)的方法。通過選取的一般空間基函數(shù)可以得到維數(shù)較高的常微分方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，同時(shí)將高維空間基函數(shù)組進(jìn)行轉(zhuǎn)換可以得到新的空間基函數(shù)組。建立一個(gè)與基函數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣相關(guān)的改進(jìn)能量誤差函數(shù)，其中優(yōu)化改進(jìn)的能量誤差函數(shù)得到基函數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣。結(jié)合基函數(shù)轉(zhuǎn)換可得到新的空間基函數(shù)組，進(jìn)而采用時(shí)空分離和