0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件及算法.pdf

1、全局優(yōu)化問(wèn)題廣泛見(jiàn)于工程、國(guó)防、經(jīng)濟(jì)等諸多重要領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。本文首先討論一類(lèi)特殊結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問(wèn)題：二次規(guī)劃的全局優(yōu)化問(wèn)題。我們給出了0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件，并討論了其相應(yīng)的算法。然后，對(duì)于一般結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問(wèn)題，我們給出了一個(gè)新的無(wú)參數(shù)的填充函數(shù)方法。 本論文的第一章介紹全局優(yōu)化理論的一些研究成果。第二章討論無(wú)約束0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)性條件。在第二節(jié)得到一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件的基礎(chǔ)上，

2、希望能夠得到一些充要條件。為此，首先在第三節(jié)中給出在線性約束條件下，(-x)成為一個(gè)凸的二次函數(shù)的全局極大點(diǎn)的充分必要條件。從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，在第四節(jié)，我們得到了無(wú)約束0-1二次問(wèn)題全局最優(yōu)的充分必要條件及其等價(jià)形式。在第五節(jié)，將注意力放在全局最優(yōu)的必要條件上。得到的必要條件都不含對(duì)偶變量，僅用到原問(wèn)題的數(shù)據(jù)。這樣，這些條件在實(shí)際中都是可以被檢驗(yàn)的。進(jìn)一步，為了使必要條件在實(shí)際中易被檢驗(yàn)、易操作，本文降低了必要條件中的維數(shù)，在比原問(wèn)題維數(shù)

3、更低的空間中，給出一些簡(jiǎn)潔的必要條件，以達(dá)到方便檢驗(yàn)的目的。 在第三章，進(jìn)一步研究有約束的0-1二次規(guī)劃的全局最優(yōu)條件。對(duì)于帶有線性不等式約束的0-1二次問(wèn)題，在第一節(jié)中得到了它全局最優(yōu)的充分條件和必要條件。必要條件也不含對(duì)偶變量。當(dāng)系數(shù)矩陣正定時(shí)，建立了原0-1問(wèn)題的解與松弛問(wèn)題的解之間的聯(lián)系。對(duì)于帶有線性等式約束的0-1二次問(wèn)題，本文在第二節(jié)證明了一個(gè)帶有線性等式約束的0-1二次規(guī)劃問(wèn)題，它的全局最優(yōu)解集和其相應(yīng)的罰問(wèn)題的全

4、局最優(yōu)解集是相等的。這樣，帶有線性等式約束的0-1二次問(wèn)題的解，可以通過(guò)無(wú)約束0-1二次規(guī)劃問(wèn)題的解得到。第三章的另一個(gè)內(nèi)容是討論0-1二次規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用。將得到的一些結(jié)論運(yùn)用于極大團(tuán)問(wèn)題和二次分派問(wèn)題，得出了一些相關(guān)的結(jié)論。 將全局最優(yōu)條件發(fā)展成為可實(shí)現(xiàn)的算法，是全局優(yōu)化研究中的重要的工作。本文的第四章討論無(wú)約束0-1二次規(guī)劃問(wèn)題的算法。首先將原0-1問(wèn)題化為一個(gè)等價(jià)的半正定的0-1二次問(wèn)題。在得到這個(gè)半正定二次問(wèn)題的松弛

5、解x之后，取與x“最接近的”0-1解y，在一定的條件之下，y就是原0-1問(wèn)題的全局最優(yōu)解。由于松弛后的問(wèn)題是凸的二次規(guī)劃問(wèn)題，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求解，所以，本文的算法是可實(shí)現(xiàn)的。為了確定y是否是原問(wèn)題的最優(yōu)解，設(shè)計(jì)了三種算法。在研究了第二章所給出的一些充分條件之間的關(guān)系之后，在第四章第四節(jié)，進(jìn)一步討論了這種方法能夠成功的一些條件。 對(duì)于一般結(jié)構(gòu)的全局優(yōu)化問(wèn)題，全局優(yōu)化的算法研究始終是人們關(guān)注的問(wèn)題。在第五章，分別對(duì)整變量的和連續(xù)

6、變量的全局優(yōu)化問(wèn)題，討論求解它們的無(wú)參數(shù)的填充函數(shù)方法。 目前已有的一些填充函數(shù)一般帶有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)。在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中，往往要花費(fèi)很多的時(shí)間和內(nèi)存來(lái)確定適當(dāng)?shù)膮?shù)值。另外，用填充函數(shù)方法解決整變量的全局優(yōu)化問(wèn)題，這也是一個(gè)重要的研究方向。基于此，在第五章第二節(jié)首先針對(duì)非線性規(guī)劃中整變量的全局優(yōu)化問(wèn)題，給出一個(gè)無(wú)參數(shù)的填充函數(shù)方法。按照填充函數(shù)方法的基本思想，給出了修正的填充函數(shù)的定義。在定義中，強(qiáng)調(diào)它能幫助作者找到比當(dāng)前局部

7、極小值具有更小目標(biāo)函數(shù)值的點(diǎn)。理論分析和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果都表明，本文所構(gòu)造的無(wú)參數(shù)的填充函數(shù)，可以有效地使目標(biāo)函數(shù)f(x)離開(kāi)當(dāng)前的局部極小點(diǎn)，并跳過(guò)很多局部極小點(diǎn)，最終找到全局極小點(diǎn)。而且，無(wú)論是目標(biāo)函數(shù)還是填充函數(shù)，它們需要賦值的點(diǎn)在所有的可行點(diǎn)中占的比例很小。對(duì)于連續(xù)變量的全局優(yōu)化問(wèn)題，在第五章第三節(jié)同樣給出了其修正的填充函數(shù)定義。并構(gòu)造了滿(mǎn)足這個(gè)定義的填充函數(shù)。隨后，討論了它的一些理論性質(zhì)并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。由于無(wú)需調(diào)節(jié)參數(shù)，這個(gè)新